Question

20．设P是双曲线$\frac{2{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1上一动点，过点P向圆x²+y²=2作两条切线（P在圆外），这两条切线的斜率分别为k₁、k₂，则k₁k₂=4．

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），切线方程为y-y₀=k（x-x₀），根据切线的性质列方程，利用根与系数的关系得出k₁k₂与x₀，y₀的关系，由P在双曲线上再得出x₀，y₀的关系，化简即可得出结论．

解答 解：设P（x₀，y₀），则圆x²+y²=2的过点P的切线方程为：y-y₀=k（x-x₀），
∴圆心（0，0）到切线的距离d=$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴k²x₀²-2kx₀y₀+y₀²=2k²+2，即（x₀²-2）k²-2x₀y₀k+y₀²-2=0，
∴k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-2}{{{x}_{0}}^{2}-2}$，
∵P（x₀，y₀）在双曲线$\frac{2{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1上，∴$\frac{2{{x}_{0}}^{2}}{3}-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{6}=1$，
即y₀²=4x₀²-6，
∴k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-2}{{{x}_{0}}^{2}-2}$=$\frac{4{{x}_{0}}^{2}-8}{{{x}_{0}}^{2}-2}$=4．
故答案为4．

点评 本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．