Question

16．已知函数f（x）=e^ax-x．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线l与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）当a≠1时，求证：存在实数x₀使f（x₀）＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，结合曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线l与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）当a≤0时，有f（1）＜e^a-1≤0＜1，即存在实数x₀使f（x₀）＜1；当a＞0，a≠1时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，由单调性求出函数的极小值，再由导数求出极小值的最大值得答案．

解答 （Ⅰ）解：f'（x）=ae^ax-1，
∵曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线与直线x+2y+3=0垂直，
∴切线l的斜率为2，
∴f'（0）=a-1=2，
∴a=3；
（Ⅱ）证明：当a≤0时，显然有f（1）＜e^a-1≤0＜1，即存在实数x₀使f（x₀）＜1；
当a＞0，a≠1时，由f'（x）=0可得$x=\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}$，
∴在$x∈（-∞，\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}）$时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在$（-∞，\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}）$上递减；
$x∈（\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}，+∞）$时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在$（\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}，+∞）$上递增．
∴$f（\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}）$=$\frac{1+lna}{a}$是f（x）的极小值．
设$g（x）=\frac{1+lnx}{x}$，则$g'（x）=\frac{-lnx}{x^2}（x＞0）$，令g'（x）=0，得x=1．

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘

∴当x≠1时g（x）＜g（1）=1，
∴$f（\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}）＜1$，
综上，若a≠1，存在实数x₀使f（x₀）＜1．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的极值，是中档题．