Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，且

OG

=4

OF

，其中O是坐标原点，以G为圆心且与抛物线C有且只有两个交点的圆的方程为（　　）

• A、x²+（y-2p）²=3p²
• B、（x-2p）²+y²=3p²
• C、x²+（y-2p）²=p²
• D、（x-2p）²+y²=p²

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出G的坐标，再设以G为圆心的圆的方程为x²+（y-2p）²=r²，将x²=2py代入，整理，根据以G为圆心且与抛物线C有且只有两个交点，可得△=4p²-4（4p²-r²）=0，由此可求圆的半径，即可得到结论．

解答： 解：∵抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，且

OG

=4

OF

，
∴G（0，2p），
设以G为圆心的圆的方程为x²+（y-2p）²=r²，
将x²=2py代入，整理可得y²-2py+4p²-r²=0
∵以G为圆心且与抛物线C有且只有两个交点，
∴△=4p²-4（4p²-r²）=0，
∴r²=3p²，
∴以G为圆心的圆的方程为x²+（y-2p）²=3p²．
故选：A．

点评：本题考查圆的方程，考查圆与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．