Question

已知曲线C₁的参数方程是

x=cosθ y=2sinθ

（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=-2cosθ．
（Ⅰ）写出C₁的极坐标方程和C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点M₁、M₂的极坐标分别是（1，π）、（2，

π

2

），直线M₁M₂与曲线C₂相交于P、Q两点，射线OP与曲线C₁相交于点A，射线OQ与曲线C₁相交于点B，求

1

丨OA丨2

+

1

丨OB丨2

的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：综合题,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把曲线C₁的参数方程化为普通方程，再把普通方程化为极坐标方程；
把曲线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程即可；
（Ⅱ）由点M₁是圆C₂的圆心得线段PQ是圆的直径，从而得OA⊥OB；
在极坐标系下，设A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

），分别代入椭圆方程中，求出

1

ρ12

，

1

ρ22

的值，求和即得

1

丨OA丨2

+

1

丨OB丨2

的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵曲线C₁的参数方程是

x=cosθ y=2sinθ

（θ为参数），
化为普通方程是x²+

y2

4

=1；
化为极坐标方程是ρ²cos²θ+

ρ2sin2θ

4

=1；
又∵曲线C₂的极坐标方程是ρ=-2cosθ，
化为直角坐标方程是（x+1）²+y²=1；
（Ⅱ）∵点M₁、M₂的极坐标分别是（1，π）、（2，

π

2

），
∴直角坐标系下点M₁（-1，0），M₂（0，2）；
∴直线M₁M₂与圆C₂相交于P、Q两点，所得线段PQ是圆（x+1）²+y²=1的直径；
∴∠POQ=

π

2

，∴OP⊥OQ，∴OA⊥OB；
又A、B是椭圆x²+

y2

4

=1上的两点，
在极坐标系下，设A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

），分别代入方程ρ²cos²θ+

ρ2sin2θ

4

=1中，
有ρ12cos²θ+

ρ12sin2θ

4

=1，
ρ22cos²（θ+

π

2

）+

ρ22sin2(θ+ π 2 )

4

=1；
解得

1

ρ12

=cos²θ+

sin2θ

4

，

1

ρ22

=sin²θ+

cos2θ

4

；
∴

1

ρ12

+

1

ρ22

=cos²θ+

sin2θ

4

+sin²θ+

cos2θ

4

=1+

1

4

=

5

4

；
即

1

丨OA丨2

+

1

丨OB丨2

=

5

4

．

点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地把参数方程、极坐标方程化为普通方程，明确参数以及极坐标中各个量的含义，是较难的题目．