Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为

2

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G、H，设P为椭圆C上一点，且满足

OG

+

OH

=t

OP

（O为坐标原点），当|

PG

-

PH

|＜

2 5

3

时，求实数t的取值范围？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为

2

2

，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）设直线y=k（x-2），联立椭圆，△＞0，得k2＜

1

2

，条件|

PG

-

PH

|＜

2 5

3

转换一下就是|

GH

|＜

2 5

3

，根据弦长公式，得到k2＞

1

4

，然后把

OG

+

OH

=t

OP

把P点的横纵坐标用t，x₁，x₂表示出来，设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），其中要把y₁，y₂分别用直线代换，最后还要根据根系关系把x₁，x₂消成k，得P(

8k2

t(1+2k2)

，

-4k

t(1+2k2)

)，代入椭圆，得到关系式t2=

16k2

1+2k2

，所以t2=

16

1 k2 +2

，根据

1

4

＜k2＜

1

2

利用已经解的范围得到(-2，-

2 6

3

)∪(

2 6

3

，2)．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为

2

2

，
∴b=1，

c

a

=

2

2

，
∵a²=b²+c²，
∴a=

2

，b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1…（3分）
（2）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
设直线y=k（x-2），联立椭圆，可得（1+2k²）x²-8kx+8k²-2=0
△=（-8k）²-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，得k2＜

1

2

，…（5分）
条件|

PG

-

PH

|＜

2 5

3

转换一下就是|

GH

|＜

2 5

3

，
∵x₁+x₂=

8k

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

根据弦长公式，

1+k2

•

( 8k 1+2k2 )2-4• 8k2-2 1+2k2

＜

2 5

3

，得到k2＞

1

4

．…（7分）
设P（x，y），则
∵

OG

+

OH

=t

OP

，
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
∴x=

1

t

（x₁+x₂），y=

1

t

（y₁+y₂）
根据x₁+x₂=

8k

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

，把x₁，x₂消成k，得P(

8k2

t(1+2k2)

，

-4k

t(1+2k2)

)（9分）
然后代入椭圆，得到关系式t2=

16k2

1+2k2

，…（11分）
∴t2=

16

1 k2 +2

，
∵

1

4

＜k2＜

1

2

，
∴实数t的取值范围为(-2，-

2 6

3

)∪(

2 6

3

，2)…（13分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，有难度．