Question

正四面体ABCD，线段AB∥平面α，E，F分别是线段AD和BC的中点，当正四面体绕以AB为轴旋转时，则线段AB与EF在平面α上的射影所成角余弦值的范围是（　　）

• A、[0，

  2

  2

  ]
• B、[

  2

  2

  ，1]
• C、[

  1

  2

  ，1]
• D、[

  1

  2

  ，

  2

  2

  ]

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：取AC中点为G，由已知条件推导出线段AB、EF在平面α上的射影所成角等于GF与EF在平面α上的射影所成角，当CD与平面α垂直时，EF在平面α上的射影E₁F₁的长取得最小值

1

2

，当CD与平面α平行时，E₁F₁取得最大值

2

2

，由此能求出AB与EF在平面α上的射影所成角余弦值的范围．

解答： 解：如图，取AC中点为G，
∵E，F分别是线段AD和BC的中点，∴GF∥AB，
∴线段AB、EF在平面α上的射影所成角等于GF与EF在平面α上的射影所成角，
在正四面体中，AB⊥CD，又GE∥CD，
∴GE⊥GF，∴EF²=GE²+GF²，
当四面体绕AB转动时，∵GF∥平面α，GE与GF的垂直性保持不变，
∴当CD与平面α垂直时，GE在平面上的射影长最短为0，
此时EF在平面α上的射影E₁F₁的长取得最小值

1

2

，
当CD与平面α平行时，GE在平面上的射影长最长为

1

2

，E₁F₁取得最大值

2

2

，
∴射影E₁F₁长的取值范围是[

1

2

，

2

2

]，
而GF在平面α上的射影长为定值

1

2

，
∴AB与EF在平面α上的射影所成角余弦值的范围是[

2

2

，1]．
故选：B．

点评：本题考查两条直线在平面上的射影所成角的余弦值的范围的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意旋转问题的合理运用．