Question

设函数f（x）=log₂

x+1

x-1

．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的增减性，并根据函数单调性的定义加以证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对是数函数的性质得到不等式，从而求出函数的定义域；
（2）先求出函数是奇函数，再根据函数的单调性的定义进行证明即可．

解答： 解：（1）由题意得：

x+1

x-1

＞0，解得：x＞1′或x＜-1，
∴函数的定义域为{x|x＞1或x＜-1}；
（2）函数f（x）是增函数，
由（1）得：函数f（x）的定义域是{x|x＞1或x＜-1}；
关于原点对称，
又∵f（-x）=

log	-x+1 -x-1 2

=-

log

x+1 x-1 2

=-f（x），
∴f（x）在定义域上是奇函数，
只需证明函数f（x）在（1，+∞）上的单调性即可，
设1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=

log	x1+1 x1-1 2

-

log	x2+1 x2-1 2

=

log	(x1+1)(x2-1) (x1-1)(x2+1) 2

=

log	[1+ 2(x2-x1) (x1-1)(x2+1) ] 2

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴2（x₂-x₁）＞（x₁-1）（x₂-1），
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）递减．

点评：本题考查了函数的定义域问题，考查了函数的单调性问题，是一道基础题．