Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，右焦点为F（1，0）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆的几何性质，求出a、b的值即可；
（2）讨论直线MN的斜率是否存在，设出MN的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合OM⊥ON，

OM

•

ON

=0求出直线的斜率k，即可求出直线l的方程．

解答： 解：（1）依题意得，c=1，∴

1 a = 2 2 a2=b2+1

；…（2分）
解得a=

2

，b=1；
∴椭圆E的标准方程为

x2

2

+y²=1；…（4分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，不符题意；…（5分）
②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x-1）；…（6分）
由

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

得：[1+2k²]x²-4k²x+2（k²-1）=0，…（8分）
∴x₁+x₂=

4x2

1+2k2

，x₁•x₂=

2(k2-1)

1+2k2

；…（10分）
∴y₁•y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=

-k2

1+2k2

；
又∵OM⊥ON，∴

OM

•

ON

=0；
∴x₁•x₂+y₁y₂=

k2-2

1+2k2

=0，
解得k=±

2

，…（13分）
∴直线l的方程为：y=±

2

（x-1）．…（14分）

点评：本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆的应用问题，考查了根与系数关系的应用问题，平面向量的应用问题，是综合题．