Question

已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F₁、F₂，抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F₁，点M（

2 6

3

，

2

3

）是椭圆与抛物线的公共点．
（1）求椭圆和抛物线的方程．
（2）过点N（2t，t²）作抛物线的切线l与椭圆交于不同的两点A、B，设F₁到切线l的距离为d，求

|AB|

d

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,导数的概念及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）将点M代入抛物线方程，即可得到p=2，求得焦点，运用椭圆的定义，得到2a=4，再由a，b，c的关系解得b，进而得到椭圆方程；
（2）N是抛物线上的点，即为切点，求出y=

1

4

x²的导数，求出抛物线的切线斜率，运用点斜式方程写出切线方程，再运用点到直线的距离公式得到d，联立切线方程和椭圆方程，消去y，得到二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由弦长公式，求得弦长，再化简

|AB|

d

，配方运用二次函数的最值，即可得到范围．

解答： 解：（1）由题意，将点M代入抛物线方程，得到（

2 6

3

）²=2p•

2

3

，解得p=2，
即有抛物线方程为：x²=4y；
则焦点F₁（0，1），F₂（0，-1），即c=1，
由椭圆的定义可得：2a=|MF₁|+|MF₂|=

24 9 + 1 9

+

24 9 + 25 9

=4，即有a=2，
b²=a²-c²=3，
则椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由于N是抛物线上的点，即为切点，y=

1

4

x²的导数为y′=

1

2

x，
则切线的斜率为t，切线方程是：y-t²=t（x-2t），即为y=tx-t²，
则F₁到切线l的距离d=

|0-1-t2|

1+t2

=

1+t2

，
联立切线方程和椭圆方程，消去y，得到（3t²+4）x²-6t³x+3t⁴-12=0，
则设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
即有判别式△=36t⁶-4（3t²+4）（3t⁴-12）＞0，即0≤t²＜4，
x₁+x₂=

6t3

4+3t2

，x₁x₂=

3t4-12

4+3t2

，
|AB|=

1+t2

•

( 6t3 4+3t2 )2-4• 3t4-12 4+3t2

，
则

|AB|

d

=

4 3 4-t4+3t2

4+3t2

，
令4+3t²=m（4≤m＜16），则

|AB|

d

=4

3

•

m- (m-4)2 9

m

=

4 3

3

•

17 m - 16 m2 -1

，（

1

16

＜

1

m

≤

1

4

），
由于-

17

2×(-16)

∉（

1

16

，

1

4

]，
则有令

1

m

=

1

16

，则

|AB|

d

=0，令

1

m

=

1

4

，则

|AB|

d

=2

3

．
则

|AB|

d

的取值范围是（0，2

3

]．

点评：本题考查抛物线和椭圆的方程和性质及运用，考查运用导数求切线方程，以及应用点到直线的距离公式，同时考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，注意判别式大于0，考查运算能力，属于中档题．