Question

已知集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
（1）从集合M中抽取两个不同元素构成子集{a₁，a₂}，求|a₁-a₂|≥2的概率；
（2）从集合M中抽取三个不同元素构成子集{a₁，a₂，a₃}，求a₁，a₂，a₃成等差数列，设其公差为ξ（ξ＞0），求随机变量ξ的概率分布于数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等差数列的性质

专题：概率与统计

分析：（1）记事件A为“|a₁-a₂|≥2”，共有

C

2 9

种取法．其中

.

A

包含{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}，{5，6}，{6，7}，{7，8}，{8，9}8种情况，由此利用对立事件概率计算公式能求出|a₁-a₂|≥2的概率．
（2）ξ的所有可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的概率分布和数学期望．

解答： 解：（1）记事件A为“|a₁-a₂|≥2”，则

.

A

为“|a₁-a₂|＜2”，
共有

C

2 9

种取法．其中

.

A

包含{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}，
{5，6}，{6，7}，{7，8}，{8，9}8种情况，
∴P（A）=1-P（

.

A

）=1-

8

C 2 9

=

7

9

，
∴|a₁-a₂|≥2的概率为

7

9

．
（2）ξ的所有可能取值为1，2，3，4，
构成公差ξ（ξ＞0）的等差数列的情况有16种，
ξ=1时，有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，
{5，6，7}，{6，7，8}，{7，8，9}7种，
∴P（ξ=1）=

7

16

；
ξ=2时，有{1，3，5}，{2，4，6}，{3，5，7}，{4，6，8}，{5，7，9}5种，
∴P（ξ=2）=

5

16

；
ξ=3时，有{1，4，7}，{2，5，8}，{3，6，9}3种，
∴P（ξ=3）=

3

16

；
ξ=4时，有{1，5，9}1种，
∴P（ξ=4）=

1

16

，
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	7 16	5 16	3 16	1 16

Eξ=1×

7

16

+2×

5

16

+3×

3

16

+4×

1

16

=

15

8

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．