Question

已知等比数列{a_n}满足a₃-a₂=10，a₁a₂a₃=125．
（Ⅰ）求数列a_n的前n项和S_n；
（Ⅱ）设b_n=n（S_n+

5

6

），T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的前n项和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₁a₂a₃=125．可得a₂=5，又a₃-a₂=10，a₃=15求出首项与公比及前n项和．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=n（S_n+

5

6

）=n[

5

6

(3n-1)+

5

6

]=

5

6

n•3n利用错位相减求出前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₁a₂a₃=125．
可得a₂=5，又a₃-a₂=10，
∴a₃=15
∴q=

a3

a2

=3
∴a1=

a2

q

=

5

3

∴Sn=

5 3 (1-3n)

1-3

=

5

6

(3n-1)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=n（S_n+

5

6

）=n[

5

6

(3n-1)+

5

6

]=

5

6

n•3n
∴Tn=

5

6

(1×3+2×32+…+n•3n)
设An=1×3+2×32+…+n•3n①
3An=          1×32+…+(n-1)•3n  +  n•3n+1②
②-①得2An=-3-32-33-…-3n+n•3n+1
=-

3-3n+1

1-3

+n•3n+1
∴An=-

1

2

×

3-3n+1

1-3

+

n

2

•3n+1
=

2n-1

4

•3n+1+

3

4

∴Tn=

5

6

An=

10n-5

8

•3n+

5

8

点评：本题考查数列通项公式及前n项和的求法，求和的关键是先求通项，据通项特点选择合适的方法，属于一道中档题．