题目内容
在△ABC中，C=2A，cosA=
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若
•
=
，求边AC的长．
| 3 |
| 4 |
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若
| BC |
| BA |
| 27 |
| 2 |
考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,正弦定理
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）利用已知条件，通过二倍角的余弦函数求出C的余弦函数值，正弦函数值，A的正弦函数值，然后通过三角形内角和以及两角和与差的三角函数，即可求cosB；
（Ⅱ）利用
•
=
，求出ac的值，通过正弦定理即可解出a，c利用余弦定理求边AC的长．
（Ⅱ）利用
| BC |
| BA |
| 27 |
| 2 |
解答：
解：∵在△ABC中，C=2A，cosA=
∴cosC=cos2A=2cos2A-1=2×(
)2-1=
，
∴sinA=
=
，
sinC=
=
，
∴cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=
×
-
×
=-
，
∵在△ABC中，B=π-（A+C）
∴cosB=-cos(A+C)=
（Ⅱ）设a、b、c分别是△ABC中A、B、C的对边，
∵
•
=
，
∴ac•cosB=
∴ac=24①
由正弦定理：
=
，得
=
∴cosA=
=
∴3a=2c②
由①②解得a=4，c=6
由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB…=42+62-2×4×6×
=25
∴b=5，即边AC的长为5．
| 3 |
| 4 |
∴cosC=cos2A=2cos2A-1=2×(
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
∴sinA=
| 1-cos2A |
| ||
| 4 |
sinC=
| 1-cos2C |
3
| ||
| 8 |
∴cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
| ||
| 4 |
3
| ||
| 8 |
| 9 |
| 16 |
∵在△ABC中，B=π-（A+C）
∴cosB=-cos(A+C)=
| 9 |
| 16 |
（Ⅱ）设a、b、c分别是△ABC中A、B、C的对边，
∵
| BC |
| BA |
| 27 |
| 2 |
∴ac•cosB=
| 27 |
| 2 |
∴ac=24①
由正弦定理：
| c |
| sinC |
| a |
| sinA |
| c |
| sin2A |
| a |
| sinA |
∴cosA=
| c |
| 2a |
| 3 |
| 4 |
∴3a=2c②
由①②解得a=4，c=6
由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB…=42+62-2×4×6×
| 9 |
| 16 |
∴b=5，即边AC的长为5．
点评：本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的内角和以及两角和与差的三角函数，考查基本知识的应用以及计算能力．
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| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
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