Question

16．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4sinθ，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；曲线C的极坐标方程转化为ρ²=4ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）在曲线C上任取一点P（2cosθ，2+2sinθ），利用点到直线的距离公式及三角函数性质能求出曲线C上的点到直线l的距离最大值．

解答 （10分）
解：（1）∵直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
∴直线l消去参数t得：$\sqrt{3}x-y=-6$，
∴直线l的普通方程为$\sqrt{3}x-y+6=0$，（2分）
∵曲线C的极坐标方程是ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=4y，即x²+（y-2）²=4．（5分）
（2）在曲线C上任取一点P，可设其坐标为P（2cosθ，2+2sinθ），（7分）
P到直线l的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-2sinθ-2+6|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{|4cos（θ+\frac{π}{6}）+4|}{2}$=2cos（$θ+\frac{π}{6}$）+2≤4，（9分）
当且仅当$θ=-\frac{π}{6}$+2kπ（k∈Z）时等号成立，
曲线C上的点到直线l的距离最大值为4．（10分）

点评 本题考查直线的普通方程和曲线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的点到直线的距离的最大值的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．