Question

已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．
（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
（2）若扇形的周长是12cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？并且最大面积是多少？

Answer 1

考点：扇形面积公式,基本不等式在最值问题中的应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用扇形的弧长公式求出弧长，通过扇形面积减去三角形面积即可求解该弧所在的弓形面积；
（2）利用扇形的周长是12cm，以及画出公式，即可表示扇形圆心角α为，以及扇形面积，利用二次函数求出扇形最大面积．

解答： 解：（1）设弧长为l，弓形面积为S_弓，
∵α=60°=

π

3

，R=10，
∴l=αR=

10π

3

 （cm）．
S_弓=S_扇-S_△=

1

2

×

10π

3

×10-

1

2

×2×10×sin 

π

6

×10×cos 

π

6

=50（

π

3

-

3

2

） （cm²）．
（2）扇形周长12=2R+l=2R+αR，
∴α=

12-2R

R

，
∴S_扇=

1

2

αR²=

1

2

•

12-2R

R

•R²
=-R²+6R=-（R-3）²+9．
当且仅当R=3cm，即α=2时，扇形面积最大，且最大面积是9cm²．

点评：本题考查扇形面积公式的应用，弧长公式的应用，考查基本知识与计算能力．