Question

张师傅驾车从公司开往火车站，途经甲、乙、丙、丁4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成的5个时段，每个时段的驾车时间都是3分钟．甲、乙两交通岗遇到红灯的概率都是

1

3

；丙、丁两交通岗遇到红灯的概率都是

1

2

．每个交通岗遇到红灯都需要停车1分钟．假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的．
（Ⅰ）求张师傅此行程时间不小于16分钟的概率；
（Ⅱ）记张师傅此行程所需时间为X分钟，求X的分布列和均值．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：应用题,概率与统计

分析：（Ⅰ）如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，由此可求张师傅此行程时间不小于16分钟的概率；
（Ⅱ）X的可能取值为15，16，17，18，19，求出相应的概率，可得X的分布列与均值．

解答： 解：（Ⅰ）如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟．
张师傅此行程时间不小于16分钟的概率
P=1-（

2

3

）²（

1

2

）²=

8

9

．…（4分）
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为15，16，17，18，19．
P（X=15）=（

2

3

）²（

1

2

）²=

4

36

=

1

9

，
P（X=16）=C

1

2

1

3

•

2

3

•（

1

2

）²+（

2

3

）²•C

1

2

（

1

2

）²=

12

36

=

1

3

，
P（X=17）=（

1

3

）²•（

1

2

）²+C

1

2

1

3

•

2

3

•C

1

2

（

1

2

）²+（

2

3

）²•（

1

2

）²=

13

36

，
P（X=18）=（

1

3

）²•C

1

2

（

1

2

）²+C

1

2

1

3

•

2

3

•（

1

2

）²=

6

36

=

1

6

，
P（X=19）=（

1

3

）²（

1

2

）²=

1

36

．
X的分布列为

Y	15	16	17	18	19
P	1 9	1 3	13 36	1 6	1 36	…（10分）

X的均值E（X）=15×

4

36

+16×

12

36

+17×

13

36

+18×

6

36

+19×

1

36

=

50

3

．…（12分）

点评：本题考查概率知识的运用，考查离散型随机变量的分布列与均值，确定变量的取值是关键．