Question

已知f（x）=2sin（x-

π

4

）cos（x-

π

4

）+2

3

cos²（x-

π

4

）
（Ⅰ）求f（x）的最大值及取到最大值时相应的x的集合；
（Ⅱ）若函数y=f（x）=-m在区间[0，

π

2

]上恰好有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）先对函数解析式进行化简，进而根据三角函数的性质求得函数的最大值及此时x的范围．
（Ⅱ）根据x的范围，画出f（x）的图象，利用数形结合方法求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x-

π

4

）cos（x-

π

4

）+2

3

cos²（x-

π

4

）
=sin（2x-

π

2

）+

3

cos（2x-

π

2

）+

3

=2sin（2x-

π

6

）+

3

∴函数的最大值为2+

3

，
当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

3

（k∈Z）时取最大值，
∴取到最大值时相应的x的集合为{x|x=kπ+

π

3

，（k∈Z）}
（Ⅱ）依（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x-

π

6

）+

3

当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
要使函数y=f（x）=-m有两个零点即直线与函数的图象有两个交点，依草图可知f（

π

2

）≤-m＜f（x）_max
即-1-

3

≥m＞-2-

3

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．注意对数形结合思想的灵活运用．