Question

已知△ABC的两边b、c是方程x²-kx+40=0的两根，△ABC的面积是10

3

，周长是20，试求∠A和k的值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：利用韦达定理求得bc的值及b+c的值，利用周长分别表示a和b²+c²，进人根据面积求得sinA，进而求得A，然后利用余弦定理求得k．

解答： 解：∵b，c是方程x²-kx+40=0的两根，
∴b+c=k，bc=40，
∴b²+c²=k²-2bc=k²-80
∵a+b+c=20
∴a=20-b-c=20-k
∵S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

•40•sinA=10

3

∴sinA=

3

2

，
∵0＜∠A＜π，
∴∠A=

π

3

或

2π

3

当∠A=

π

3

时，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

k2-80-(20-k)2

80

=

1

2

求得k=13，此时△=169-160＞0
当∠A=

2π

3

时，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

k2-80-(20+k)2

80

=-

1

2

，
求得k=-11，此时△=121-160＜0，方程无解，与方程有两根矛盾．应舍去．
∴∠A=

π

3

，k=13．

点评：本题主要考查了解三角形的基础知识．解决此问题的关键是利用k表达出a，b²+c²，进而利用余弦定理．