Question

求以椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的长轴端点为焦点且经过点P（5，

9

4

）的双曲线的标准方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件设所求双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

25-a2

=1，把点P（5，

9

4

）代入，能求出双曲线的标准方程．

解答： 解：∵椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的长轴端点为（±5，0），
∴以椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的长轴端点为焦点的双曲线的焦点坐标为F₁（-5，0），F₂（5，0），
∴设所求双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

25-a2

=1，
把点P（5，

9

4

）代入，得：

25

a2

-

81 16

25-a2

=1，
整理，得16a⁴-881a²+10000=0，
解得a²=16，或a²=

625

16

（舍），
∴双曲线的标准方程为

x2

16

-

y2

9

=1．

点评：本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．