Question

如图，底面是正方形的四棱锥P-ABCD，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2．
（Ⅰ）求证：PD⊥BC；
（Ⅱ）求直线PA与平面ABCD所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得BC⊥CD，从而BC⊥平面PCD，由此能证明BC⊥PD．
（Ⅱ）取DC中点O，连结OA，OP，由已知得∠PAO是直线PA与平面ABCD所成的角，由此能求出直线PA与平面ABCD所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵平面PCD⊥平面ABCD，
又平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊥CD，
∴BC⊥平面PCD，
∵PD?平面PCD，∴BC⊥PD．
（Ⅱ）解：取DC中点O，连结OA，OP，
∵PC=PD=CD=2，
∴PO⊥CD，且PO=

3

，
∵底面是正方形的四棱锥P-ABCD，平面PCD⊥平面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，AO=

4+1

=

5

，AP=

5+3

=2

2

，
∴∠PAO是直线PA与平面ABCD所成的角，
sin∠PAO=

PO

AP

=

3

2 2

=

6

4

，
∴直线PA与平面ABCD所成的角的正弦值为

6

4

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．