Question

已知A、B是抛物线y²=4p上不同的两点，且直线AB的倾斜角为锐角，F为抛物线的焦点，且

FA

=-4

FB

，则直线AB的斜率为（　　）

• A、

  4

  3

• B、

  4

  5

• C、

  3

  4

• D、

  3

  5

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：向量与圆锥曲线

分析：抛物线y²=2px（p＞0）以原点为顶点，开口向右，焦点F（p，0），由

FA

=-4

FB

，设B（

b2

4p

，b），b＜0，
 利用题设条件能推导出b=-p，由此能求出直线AB的斜率．

解答： 解：抛物线y²=4px（p＞0）以原点为顶点，开口向右，焦点F（p，0），
∵

FA

=-4

FB

，
∴B在x轴下方，
设B（

b2

4p

，b），b＜0，
则

FB

=（

b2

4p

-p，b），

FA

=（-

b2

p

+4p，-4b），

OA

=

OF

+

FA

=（P，0）+（-

b2

p

+4p，-4b）=（-

b2

p

+5p，-4b），
由（-4b）²=4p（-

b2

p

+5p），
得b²=p²，b=-p，
设直线AB倾斜角为θ，
则tanθ=

b-0

p 4 -p

=

-p

- 3p 4

=

4

3

．
∴直线AB的斜率为

4

3

．
故选：A．

点评：本题考查直线的倾斜角的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质、向量知识的灵活运用，是中档题．