Question

设数列{a_n}的前n项和为s_n，已知a₁=1，且满足3S_n²=a_n（3S_n-1）（n≥2）
（1）求证：{

1

Sn

}为等差数列
（2）设b_n=

Sn

3n+1

，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把“当n≥2时a_n=S_n-S_n-1”代入3S_n²=a_n（3S_n-1），化简后取倒数，再由等差数列的定义进行证明；
（2）由（1）和等差数列的通项公式化简b_n，利用裂项相消法求出数列{b_n}的前n项和．

解答： 证明：（1）当n≥2时a_n=S_n-S_n-1，代入3S_n²=a_n（3S_n-1），
得3S_n²=（S_n-S_n-1）（3S_n-1），化简得S_n-1-S_n=3S_n-1S_n，
两边同除以S_n-1S_n，得

1

Sn

-

1

Sn-1

=3，
又a₁=1，则

1

S1

=1，
所以数列{

1

Sn

}为等差数列是以1为首项、3为公差的等差数列；
解（2）由（1）得，

1

Sn

=1+3（n-1）=3n-2，
所以S_n=

1

3n-2

，则b_n=

Sn

3n+1

=

1

(3n+1)(3n-2)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），
则数列{b_n}的前n项和S=

1

3

[（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

7

）+…+（

1

3n-2

-

1

3n+1

）]
=

1

3

（1-

1

3n+1

）=

n

3n+1

．

点评：本题考查数列的递推式，等差数列的定义、通项公式，以及裂项相消法求出数列的前n项和，考查转化思想和灵活变形能力．