Question

已知函数f（x）=2lnx-x²，若方程f（x）+m=0在[

1

e

，e]内有两个不等的实根，则实数m的取值范围是

 

．（e为自然对数的底数）

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：先求出函数的导数，得出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定m的范围．

解答： 解：∵f′（x）=

2(1-x)(1+x)

x

，
∴当x∈[

1

e

，1）时，f′（x）＞0，f（x）在[

1

e

，1）为增函数，
当x∈（1，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，e）为减函数，
∴当x=1时，f（x）有极大值，也为最大值，f（1）=-1，
又f（

1

e

）=-2-

1

e2

，f（e）=2-e²，
∴-2-

1

e2

≤-m＜-1，
∴1＜m≤2+

1

e2

．
故答案为：（1，2+

1

e2

]．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，求参数的范围，是一道中档题．