Question

某电视台为了宣传安徽沿江城市经济崛起的情况，特举办了一期有奖知识问答活动，活动对18～48岁的人群随机抽取n人回答问题“沿江城市带包括哪几个城市”，统计数据结果如下表：

组数	分组	回答正确的人数	占本组的频率
第1组	[18，28）	240	x
第2组	[28，38）	300	0.6
第3组	[38，48]	a	0.4

（1）分别求出n，a，x的值；
（2）若以表中的频率近似看作各年龄组正确回答问题的概率，规定年龄在[38，48]内回答正确的得奖金200元，年龄在[18，28）内回答正确的得奖金100元．主持人随机请一家庭的两个成员（父亲46岁，孩子21岁）回答问题，求该家庭获得奖金ξ的分布列及数学期望（两个回答问题正确与否相互独立）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由频率表中第2组数据可知，第2组总人数为

300

0.6

=500，再结合频率分布直方图能求出n，a，x的值．
（2）由题意知ξ可能的取值为0，100，200，300，分别求出相应的概率，由此能求出该家庭获得奖金ξ的分布列和Eξ．

解答： （本题13分）
解：（1）由频率表中第2组数据可知，第2组总人数为

300

0.6

=500，再结合频率分布直方图可知：
n=

500

0.05×10

=1000，所以a=1000×0.02×10×0.4=80，
x=

240

1000×0.03×10

=0.8．
（2）由题意知ξ可能的取值为0，100，200，300，父亲回答正确的概率为0.4，孩子回答正确的概率为0.8，且P（ξ=0）=0.6×0.2=0.12，P（ξ=100）=0.6×0.8=0.48，P（ξ=200）=0.4×0.2=0，0，8P（ξ=300）=0.4×0.8=0.32，
所以该家庭获得奖金ξ的分布列为

ξ	0	100	200	300
P	0.12	0.48	0.08	0.32

故Eξ=0×0.12+100×0.48+200×0.08+300×0.32=160．

点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．