Question

某厂生产一种机器的固定成本是0.5万元，每生产100台，需增加可变成本0.25万元，市场对该成品的需求是500台，销售收入是f（t）=5t-0.5t²万元（0≤t≤5），其中t 是产品的售出数量（百台）．
（1）把年利润表示为年产量x（x≥0，单位：百台）的函数；
（2）年产量为多少时，工厂所得的纯利润最大？

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：（1）设年纯利润为y，则当0≤x≤5时，y=f（x）-0.25x-0.5，当x＞5 时，销售收入为f（5），年纯利润为y=f（5）-0.25x-0.5，化简即可；
（2）当0≤x≤5时，将函数y配方，即可得到最大值，当x＞5时，由单调性即可得到范围．

解答： 解：（1）设年纯利润为y，
则当0≤x≤5时，y=f（x）-0.25x-0.5=-0.5x²+4.75x-0.5，
当x＞5 时，销售收入为f（5），年纯利润为y=f（5）-0.25x-0.5=-0.25x+12，
故函数关系式为y=

-0.5x2+4.75x-0.5(0≤x≤5) 12-0.25x(x＞5)

，
（2）当0≤x≤5时，y=-0.5（x-4.75）²+10.78125，
故y_max=10.78125，此时x=4.75百台，
当x＞5时，y＜12-0.25×5=10.75，
综上所述，年产量为475台时，工厂的年利润最大．

点评：本题考查分段函数的运用，考查二次函数的最值和运用单调性求范围，考查运算能力，属于中档题．