Question

已知圆C：x²+y²+x-6y+m=0和直线l：x+y-3=0
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）当圆C与直线l相切时，求圆C关于直线l的对称圆方程；
（Ⅲ）若圆C与直线l交于P、Q两点，是否存在m，使以PQ为直径的圆经过原点O？

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）圆C：x²+y²+x-6y+m=0可化为圆C：（x+

1

2

^）2+（y-3）²=-m+

37

4

，即可求m的取值范围；
（Ⅱ）圆C与直线l相切，可得 R=d=

|- 1 2 +3-3|

2

=

1

2 2

，求出C(-

1

2

，3)关于直线l的对称点，即可求圆C关于直线l的对称圆方程；
（Ⅲ）设圆方程x²+y²+x-6y+m+λ（x+y-3）=0，可得圆心(-

1+λ

2

，-

λ-6

2

)，代入直线l得λ=-

1

2

，圆过原点得m=3λ=-

3

2

，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）圆C：x²+y²+x-6y+m=0可化为圆C：（x+

1

2

^）2+（y-3）²=-m+

37

4

，
∵-m+

37

4

＞0，
∴m＜

37

4

-------------3分 
（Ⅱ）圆C：x²+y²+x-6y+m=0，
∴圆心C（-

1

2

，3），
∵圆C与直线l相切，
∴R=d=

|- 1 2 +3-3|

2

=

1

2 2

，-------------5分
设C(-

1

2

，3)关于直线l的对称点M（a，b），则

b-3 a+ 1 2 ×(-1)=-1 a+ 1 2 2 + b-3 2 -3=0

，∴a=0，b=

7

2

，-------------7分
故所求圆的方程为：x2+(y-

7

2

)2=

1

8

------------8分
（Ⅲ）设圆方程x²+y²+x-6y+m+λ（x+y-3）=0，可得圆心(-

1+λ

2

，-

λ-6

2

)
代入直线l得λ=-

1

2

，
圆过原点得m=3λ=-

3

2

，检验满足，
故存在m=-

3

2

，使以PQ为直径的圆经过原点O．------------12分

点评：本题考查直线与圆的性质的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．