Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且有S_n=2a_n-2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）两式作差即可求数列{a_n}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；
（2）先把所求结论代入求出数列{b_n}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-2，∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2），
∴a_n=2a_n-1，
又∵a₁=2，∴{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2ⁿ；
（2）∵b_n=na_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+2×2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
因此：-T_n=1×2+（2²+2³+…+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．属于中档题．