Question

某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5m，∠BCD=60°，已知建筑支架的材料每米的价格为每米100元．
（1）设BC=x米，CD=y米，试用x表示y；
（2）问怎样设计AB，CD的长，可使建造这个支架的成本最低，并求最低成本是多少元？

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）△BCD中，BC=x，CD=y，∠BCD=60°，由余弦定理可得x，y的关系式；
（2）由造价函数：W=100（2x+y）=100（2x+

x2-0.25

x-1

），不妨设t=x-1，那么t≥0.4，化简W为t的函数容易求出结果．

解答： 解：（1）如图，由余弦定理得：（y-0.5）²=x²+y²-2xycos60°，
∴y=

x2-0.25

x-1

（其中x≥1.4）；
（2）设支架的造价为：W=100（2x+y）=100（2x+

x2-0.25

x-1

），
设t=x-1，那么t≥0.4，∴W=100（3t+

3

4t

+4）≥700，
当且仅当t=0.5＞0.4，x=1.5，y=4时，这时造价W的值也最小，且有AB=3米，CD=4米．

点评：本题借助三角形的余弦定理建立函数解析式，考查函数的最值问题，是中档题．