Question

2014年国庆长假期间，各旅游景区人数发生“井喷”现象，给旅游区的管理提出了严峻的考验，国庆后，某旅游区管理部门对该区景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：y=

51

50

x-ax²-ln

x

10

，x∈（1，t]，当x=10时，y=9.2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求旅游增加值y取得最大值时对应的x值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,应用题,导数的综合应用

分析：（1）由题意可知

51

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×10-a×10²-ln 1=9.2，从而求出a的值，代入确定f（x）=

51

50

x-

x2

100

-ln

x

10

（x∈（1，t]）；
（2）求导f′(x)=

51

50

-

x

50

-

1

x

=-

x2-51x+50

50x

=-

(x-1)(x-50)

50x

，由导数确定函数的单调性，从而求最值．

解答： 解：（1）∵当x=10时，y=9.2，
即

51

50

×10-a×10²-ln 1=9.2
，解得a=

1

100

．
∴f（x）=

51

50

x-

x2

100

-ln 

x

10

．（x∈（1，t]）
（2）对f（x）求导得
f′(x)=

51

50

-

x

50

-

1

x

=-

x2-51x+50

50x

=-

(x-1)(x-50)

50x

．
令f′（x）=0，解得x=50或x=1（舍去）．
当x∈（1，50）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，50）上是增函数；
当x∈（50，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（50，+∞）上是减函数．
∴当t＞50时，
当x∈（1，50）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，50）上是增函数；
当x∈（50，t]时，f′（x）＜0，f（x）在（50，t]上是减函数．
∴当x=50时，y取得最大值；
当t≤50时，当x∈（1，t）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，t）上是增函数，
∴当x=t时，y取得最大值．

点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于难题．