Question

设函数f（x）=ax²+bx+c，对?x∈[-1，1]，均有f（x）≤1．求证：对?x∈[-1，1]，均有|2ax+b|≤4．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：设g（x）=2ax+b，则g（x）为单调函数．故只需证|g（1）|≤4，且|g（-1）|≤4．

解答： 证明：设g（x）=2ax+b，则g（x）为单调函数．故只需证|g（1）|≤4，且|g（-1）|≤4．
由于对任意x∈[-1，1]，均有-1≤f（x）≤1，
∴

-1≤a+b+c≤1 -1≤a-b+c≤1 -1≤c≤1

，
∴

-2≤a+b≤2 -2≤a-b≤2

∴-2≤a≤2．
又∵2a±b=a+（a±b），∴-4≤2a±b≤4，
即-4≤g（±1）≤4，即|g（±1）|≤4．
∴对任意x∈[-1，1]，均有|2ax+b|≤4．

点评：本题主要考查了绝对值不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．