Question

已知正项数列{a_n}的前n项和S_n=

1

4

（a_n+1）²．求数列{a_n}的通项公式，并求出该数列的前10项和．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：当n=1时，利用a1=

1

4

(a1+1)2，解得a₁．当n≥2时，利用an=Sn-Sn-1=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2可得，再利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出．

解答： 解：当n=1时，a1=

1

4

(a1+1)2，解得a₁=1．
当n≥2时，由S_n=

1

4

（a_n+1）²，Sn-1=

1

4

(an-1+1)2．
可得an=Sn-Sn-1=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}是正项数列，∴a_n-a_n-1=2．
∴数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
∴Sn=

n(a1+an)

2

=

n(1+2n-1)

2

=n2．
∴S10=102=100．

点评：本题考查了递推数列的通项公式、等差数列的通项公式和前n项和公式，属于难题．