Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足4（n+1）（S_n+1）=（n+2）²a_n（n∈N⁺）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求a_n；
（3）设b_n=

n+1

an

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）取n=1，2代入即可得出；
（2）利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1和“累乘求积”即可得出或利用数学归纳法可得；
（3）利用“裂项求和”即可证明．

解答： 解：（1）当n=1时，有4×(1+1)(a1+1)=(1+2)2a1，解得a₁=8．
当n=2时，有4×(2+1)(a1+a2+1)=(2+2)2a2，解得a₂=27．
（2）（法一）：当n≥2时，有4(Sn+1)=

(n+2)2an

n+1

，…①
4(Sn-1+1)=

(n+1)2an-1

n

． …②
①-②得：4an=

(n+2)2an

n+1

-

(n+1)2an-1

n

，
化为

an

an-1

=

(n+1)3

n3

，
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

•a1=

(n+1)3

n3

×

n

(n-1)3

×…×

43

33

×

33

22

×2³=（n+1）³，
又∵当n=1时，有a₁=8，∴an=(n+1)3．
（法二）根据a₁=8，a₂=27，猜想：an=(n+1)3． 
用数学归纳法证明如下：
（Ⅰ）当n=1时，有a1=8=(1+1)3，猜想成立．
（Ⅱ）假设当n=k时，猜想也成立，即：ak=(k+1)3．
那么当n=k+1时，有4(k+1+1)(Sk+1+1)=(k+1+2)2ak+1，
即：4(Sk+1+1)=

(k+1+2)2ak+1

k+1+1

，…①
又 4(Sk+1)=

(k+2)2ak

k+1

，…②
①-②得：4ak+1=

(k+3)2ak+1

k+2

-

(k+2)2ak

k+1

=

(k+3)2ak+1

k+2

-

(k+2)2(k+1)3

k+1

，
解，得ak+1=(k+2)3=(k+1+1)3．∴当n=k+1时，猜想也成立．
因此，由数学归纳法证得an=(n+1)3成立．
（3）∵bn=

n+1

an

=

1

(n+1)2

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n＜

1

22

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=

1

4

+

1

2

-

1

n+1

＜

3

4

．

点评：本题考查了递推数列的通项公式、“裂项求和”、放缩法证明不等式、数学归纳法等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想，属于难题．