Question

如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y²=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为

3 2

4

．
（1）求直线l及抛物线C的方程；
（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃．问：是否存在实数λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线的一般式方程,抛物线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用点P（2，2）在抛物线C上，可求抛物线方程，求出与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程，利用两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，可得直线l的方程；
（2）直线AB的方程为y-1=k（x-2），与抛物线联立，消去x，利用韦达定理、斜率公式，求出k₁+k₂，再由

y-1=k(x-2) y=x+2

得xM=

2k+1

k-1

，y_M=

4k-1

k-1

，求出k₃，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵点P（2，2）在抛物线C上，∴p=1，
∴y²=2x．    …（2分）
设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程为y=x+m，
代入抛物线方程可得x²+（2m-2）x+m²=0，
∴△=（2m-2）²-4m²=4-8m=0，得m=

1

2

，则直线l′方程为y=x+

1

2

．
∵两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，
∴有

|b- 1 2 |

2

=

3 2

4

，解得b=2或b=-1（舍去）．
∴直线l的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y²=2x． …（6分）
（2）由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y-1=k（x-2），
与抛物线联立，消去x得ky²-2y-4k+2=0，
设点A、B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=

2

k

，y₁y₂=

2-4k

k

，
∵k₁=

2

y1+2

，k₂=

2

y2+2

，…（9分）
∴k1+k2=

2

y1+2

+

2

y2+2

=

2(y1+y2)+8

y1y2+2(y1+y2)+4

=

2• 2 k +8

2-4k k +2• 2 k +4

=

4k+2

3

．…（10分）
由

y-1=k(x-2) y=x+2

得xM=

2k+1

k-1

，y_M=

4k-1

k-1

，
∴k₃=

4k-1 k-1 -2

2k+1 k-1 -2

=

2k+1

3

，…（13分）
∴k₁+k₂=2k₃．
因此，存在实数λ，使得k₁+k₂=λk₃成立，且λ=2．…（14分）

点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．