Question

已知数列{a_n}满足a_n+1-a_n=n+2（n∈N^*）且a₁=1
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）令b_n=4a_n-68n，求b_n的最小值及此时n的值．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用a_n+1-a_n=n+2（n∈N^*）且a₁=1，代入计算，可得a₂，a₃，a₄的值；
（2）由已知递推公式可利用叠加法求解数列的通项公式；
（3）将{a_n}的通项公式代入，利用配方法，可求b_n的最小值及此时n的值．

解答： 解：（1）∵a_n+1-a_n=n+2（n∈N^*）且a₁=1，
∴a₂=4，a₃=8，a₄=13；
（2）∵a_n+1-a_n=n+2
∴a₂-a₁=1+2
a₃-a₂=2+2
…
a_n-a_n-1=（n-1）+2
以上n-1个式子相加可得，a_n-a₁=1+2+…+（n-1）+2n-2=

n2+3n-2

2

；
（3）b_n=4a_n-68n=2（n²+3n-2）-68n=2（n-

31

2

）²-

953

2

，
∴n=15或16时，b_n的最小值为-484．

点评：本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法，考查配方法的应用，属于中档题．