Question

13．已知椭圆：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，圆x²+y²-2y=0的圆心与椭圆C的上顶点重合，点P的纵坐标为$\frac{5}{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若斜率为2的直线l与椭圆C交于A，B两点，探究：在椭圆C上是否存在一点Q，使得$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BQ}$，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知a=$\sqrt{2}$c，求得圆心与半径，即可求得b=1，则a=$\sqrt{2}$，即可求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，根据向量相等，表示出x₀=-$\frac{8}{9}$m-p，y₀=$\frac{2}{9}$m-$\frac{5}{3}$，将直线方程代入椭圆方程，由△＞0，即可求得m的取值范围，将Q代入椭圆方程，由韦达定理，根据△₂＞0，求得m的取值范围，由无交集，因此不存在Q，使得$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BQ}$．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，b²=a²-c²=c²，
由x²+y²-2y=0的标准方程x²+（y-1）²=1，则b=1，c=1，a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）假设存在Q，使得满足$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BQ}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线l：y=2x+m，
则Q（x₀，y₀），P（p，$\frac{5}{3}$），则$\overrightarrow{PA}$=（x₁-p，y₁-$\frac{5}{3}$），$\overrightarrow{BQ}$=（x₀-x₂，y₀-y₂），
由$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BQ}$，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}-{x}_{2}={x}_{1}-p}\\{{y}_{0}-{y}_{2}={y}_{1}-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}={x}_{1}+{x}_{2}-p}\\{{y}_{0}={y}_{1}+{y}_{2}-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，整理得：9x²+8mx+2m²-2=0，
则△=（8m）²-4×9×（2m²-2）=8（9-m²）＞0，解得：-3＜m＜3，①
则x₁+x₂=-$\frac{8}{9}$m，y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2m=$\frac{2}{9}$m，
则x₀=-$\frac{8}{9}$m-p，y₀=$\frac{2}{9}$m-$\frac{5}{3}$，
由Q（x₀，y₀）在椭圆上，则x₀²+2y₀²=2，
∴（-$\frac{8}{9}$m-p）²+2（$\frac{2}{9}$m-$\frac{5}{3}$）²=2，整理得：9p²+16mp+8m²-$\frac{40}{3}$m+32=0有解，
则△₂=（16m）²-4×9（8m²-$\frac{40}{3}$m+32），
=648-32（m-$\frac{15}{2}$）²≥0，
解得：3≤m≤12，②
①②无交集，因此不存在Q，使得$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BQ}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题．