Question

4．已知函数f（x）=log₂（x²-2ax+3）．
（1）若a=1，求f（x）的值域；
（2）若a=2，求函数f（x）的定义域及单调区间；
（3）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（4）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围；
（5）若函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（6）若函数f（x）在[-1，+∞）上有意义，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出y=x²-2ax+3的值域，利用对数函数的单调性得出f（x）的值域；
（2）令x²-2ax+3＞0解出f（x）的定义域，根据复合函数的单调性得出f（x）的单调性；
（3）令x²-2ax+3＞0恒成立解出a的范围；
（4）令y=x²-2ax+3得最小值≤0即可；
（5）根据符合函数的单调性得出y=x²-2ax+3在[2，+∞）上单调递增，且x²-2ax+3＞0在[2，+∞）上恒成立，列不等式组解出a的范围；
（6）令x²-2ax+3＞0在[-1，+∞）上恒成立，列不等式组解出a的范围

解答 解：（1）a=1时，f（x）=log₂（x²-2x+3）=log₂[（x-1）²+2]，
∵（x-1）²+2≥2，∴f（x）≥log₂2=1，
∴f（x）的值域为[1，+∞）．
（2）当a=2时，f（x）=log₂（x²-4x+3），
令x²-4x+3＞0得x＜1或x＞3，
∴f（x）的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞）．
由二次函数的性质可知y=x²-4x+3在（-∞，1）单调递减，在（3，+∞）单调递增，
∴f（x）=log₂（x²-4x+3）在（-∞，1）单调递减，在（3，+∞）单调递增．
（3）若f（x）的定义域为R，则x²-2ax+3＞0恒成立，
∴△=4a²-12＜0，解得-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$．
（4）设A为y=x²-2ax+3的值域，则A=[3-a²，+∞），
若f（x）的值域为R，则（0，+∞）⊆A，∴3-a²≤0，解得a$≤-\sqrt{3}$或a$≥\sqrt{3}$．
（5）若函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，
则y=x²-2ax+3在[2，+∞）上单调递增，且x²-2ax+3＞0在[2，+∞）上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{7-4a＞0}\end{array}\right.$，解得a＜$\frac{7}{4}$，
（6）若函数f（x）在[-1，+∞）上有意义，则x²-2ax+3＞0在[-1，+∞）上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤-1}\\{4+2a＞0}\end{array}\right.$，或△=4a²-12＜0，或$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-12=0}\\{a＜-1}\end{array}\right.$，解得-2＜a≤-1或-$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{3}$或a=-$\sqrt{3}$．
综上，a的范围是（-2，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了对数函数的性质，二次函数的性质，符合函数的单调性，属于中档题．