Question

已知

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），

n

=（cosx，-y），且满足

m

•

n

=0．
（Ⅰ）将y表示为x的函数f（x），并写出f（x）的对称轴及对称中心；
（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长，若f（x）≤f（

A

2

）对所有x∈R恒成立，且a=4，求b+c的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦函数的对称性

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由平面向量数量积的坐标运算公式及三角恒等变换公式，化简函数f（x），根据函数y=sinx的对称轴和对称中心，整体代换求出f（x）的对称轴方程和对称中心；
（2）由f（x）≤f（

A

2

）对所有x∈R恒成立得到f（

A

2

）最大且为3，从而求出A，再运用正弦定理求出b，c，运用三角恒等变换公式化简b+c为关于B的三角函数，由B的范围，求出范围即可．

解答： 解：（1）∵

m

•

n

=（2cosx+2

3

sinx）cosx-y=0，
∴y=2cos²x+2

3

sinxcosx=cos2x+

3

sin2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，得f（x）的对称轴为x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
令2x+

π

6

=kπ，得x=

kπ

2

-

π

12

，
∴f（x）的对称中心为（

kπ

2

-

π

12

，1）（k∈Z）；
（2）∵f（x）≤f（

A

2

）对所有x∈R恒成立，
∴f（

A

2

）=3，且A+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∵A为三角形的内角，∴0＜A＜π，
∴A=

π

3

，B+C=

2π

3

，
∵a=4，由正弦定理得

4

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

8 3

3

，
∴b+c=

8 3

3

（sinB+sinC）=

8 3

3

[sinB+sin（

2π

3

-B）]
=4

3

sinB+4cosB=8（

3

2

sinB+

1

2

cosB）
=8sin（B+

π

6

），
∵B∈（0，

2π

3

），∴sin（B+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
∴b+c∈（4，8]．
∴b+c的取值范围是（4，8]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换公式的运用，解三角形中的正弦定理的运用，考查平面向量的数量积的坐标运算，考查三角函数的性质，以及化简求范围的运算能力，这是解好题的基本能力，应掌握．