Question

设函数f（x）=lnx-x²+ax（其中无理数e=2.71828…，a∈R）．
（I）若函数f（x）的图象在x=

1

2

处的切线与直线y=2x平行，求实数a的值，并求此时函数f（x）的值域；
（Ⅱ）证明：?λ∈（0，1），?x₁，x₂∈（0，+∞），f（λx₁+（1-λ）x₂）≥λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）；
（Ⅲ）设g（x）=xe^1-x，若对于任意给定的x₀∈（0，e]，方程 f（x）+1=g（x₀）在（0，e]内有两个不同的根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（I）利用导数的几何意义，求出实数a的值，确定函数的单调性，可求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）利用分析法进行证明，证明（1）：[λx₁+（1-λ）x₂]²+[λx₁²+（1-λ）x₂²]=λ（1-λ）（x₁-x₂）²≥0；（2）：ln[（λx₁+（1-λ）x₂）]-[λlnx₁+（1-λ）lnx₂]=ln

λ( x1 x2 )+(1-λ)

( x1 x2 )λ

≥0即可；
（Ⅲ）求出函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]，令F（x）=f（x）+1，F′（x）=0在（0，e）有解，且易知只能有一个解，利用F（x）_max=F（x₀）＞1，分离参数，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=lnx-x²+ax，
∴f′（x）=

1

x

-2x+a，…（1分）
∵函数f（x）的图象在x=

1

2

处的切线与直线y=2x平行，
∴f′（

1

2

）=2，
解得a=1．　　　　　…（2分）
此时f（x）=lnx-x²+x，f′（x）=

(2x+1)(x-1)

x

，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
由此可知，当x=1时f（x）取得极大值0（同时也是最大值）．
∴函数f（x）的值域为（-∞，0]．…（3分）
（Ⅱ）证明：要证：?λ∈（0，1），?x₁，x₂∈（0，+∞），f（λx₁+（1-λ）x₂）≥λf（x₁）+（1-λ）f（x₂），
只需要证明ln[（λx₁+（1-λ）x₂）]-[λx₁+（1-λ）x₂]²+a[λx₁+（1-λ）x₂]≥λ[lnx₁-x12+ax₁]+（1-λ）[lnx₂-x22+ax₂]即可．
也就是要证明ln[（λx₁+（1-λ）x₂）]-[λlnx₁+（1-λ）lnx₂]-[λx₁+（1-λ）x₂]²+[λx₁²+（1-λ）x₂²]≥0
∵（1）：[λx₁+（1-λ）x₂]²+[λx₁²+（1-λ）x₂²]=λ（1-λ）（x₁-x₂）²≥0；                  …（5分）
（2）：ln[（λx₁+（1-λ）x₂）]-[λlnx₁+（1-λ）lnx₂]=ln

λ( x1 x2 )+(1-λ)

( x1 x2 )λ

下面证明

λ( x1 x2 )+(1-λ)

( x1 x2 )λ

≥1，即要证明λ（

x1

x2

）+（1-λ）≥（

x1

x2

）^λ，
不妨设0＜x₁≤x₂，令t=

x1

x2

，h（t）=λt-t^λ+（1-λ）（0＜t≤1）
∴h′（t）=λ（1-t^λ-1），
∵0＜t≤1，0＜λ＜1，
∴h′（t）≤0，仅当t=1时h′（t）=0，
∴h（t）在（0，1]上是减函数，
∴h（t）≥h（1）=0，即ln[（λx₁+（1-λ）x₂）]-[λlnx₁+（1-λ）lnx₂]≥0．
结合（1），（2）可知（1）+（2）≥0，因此f（λx₁+（1-λ）x₂）≥λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）；…（8分）
（Ⅲ）解：g′（x）=e^1-x-xe^1-x=（1-x）e^1-x
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∵g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e^1-e＞0
∴函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．…（9分）
令F（x）=f（x）+1，F′（x）=-

2x2-ax-1

x

，
若F′（x）=0在（0，e]无解，则F（x）在（0，e]上是单调函数，不合题意；
∴F′（x）=0在（0，e）有解，且易知只能有一个解．　　…（10分）
设其解为x₀，当x∈（0，x₀）时F′（x）＞0，F（x）在（0，x₀）上是增函数；
当x∈（x₀，e）时F′（x）＜0，F（x）在（x₀，e）上是减函数．
∵?x₀∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x₀）在（0，e]内有两个不同的根，
∴F（x）_max=F（x₀）＞1，且F（e）≤0．
由F（e）≤0，即lne-e²+ae+1≤0，解得a≤e-

2

e

．　   …（11分）
由F（x）_max=F（x₀）＞1，即lnx0-

x

2 0

+ax0＞0．
∵2x02-ax0-1=0，∴a=2x₀-

1

x0

，
代入lnx0-

x

2 0

+ax0＞0，得lnx₀+x₀²-1＞0．
设m（x）=lnx+x²-1，m′(x)=

1

x

+2x＞0，∴m（x）在（0，e）上是增函数，
而m（1）=0，由lnx₀+x₀²-1＞0可得m（x₀）＞m（1），
得1＜x₀＜e． …（12分）
由a=2x₀-

1

x0

是增函数，得1＜a＜2e-

1

e

．       …（13分）
综上所述1＜a≤e-

2

e

．…（14分）

点评：本题主要考查了学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，能够判断不等式恒成立时所满足的条件．难度大