Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点过F，过H（-

p

2

，0）引直线l交此抛物线于A，B两点．
（1）若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率；
（2）若p=2，点M在抛物线上，且

FA

+

FB

=t

FM

，求t的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）分别过A，B作准线的垂线，垂足分别是A₁，B₁可知AF=AA₁，BF=BB₁，进而根据

AF

BF

=

AA1

BB1

=

HA

HB

的比例关系，把边转换为角的正弦，求得sin∠AFH=sin∠BFH，进而根据∠AFH=180°-∠BFH=∠BFx，推断出k_BF+k_AF=0，求得答案．．
（2）依题意可知，抛物线为y2=4x，直线l的斜率k存在且k≠0，l的方程为y=k（x+1），设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程消去y，根据△＞0求得k的一个范围，利用韦达定理和已知向量的关系，求得M点的横坐标和纵坐标的表达式，进而组件k和t的关系式，利用k范围求得t的范围．

解答： 解：（Ⅰ）分别过A，B作准线的垂线，垂足分别是A₁，B₁
则AF=AA₁，BF=BB₁，
∴

AF

BF

=

AA1

BB1

=

HA

HB

，
∴

AF

BF

=

HA

HB

，
∴

AF

HA

=

BF

HB

…①
△AHF中，

AF

HA

=

sin∠AHF

sin∠AFH

…②，
△BHF中，

BF

HB

=

sin∠AHF

sin∠BFH

…③
将②③代入①，得

sin∠AHF

sin∠AFH

=

sin∠AHF

sin∠BFH

，
∴sin∠AFH=sin∠BFH
∴∠AFH=180°-∠BFH=∠BFx，
∴k_BF+k_AF=0，
∴k_BF=-k_AF=-2．
（Ⅱ）依题意可知，抛物线为y2=4x，直线l的斜率k存在且k≠0，l的方程为y=k（x+1），设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），满足

y=k(x+1) y2=4x

，
即x₁，x₂满足k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴△=（2k²-4）²-4k⁴＞0，
∴k²＜1，
且x₁+x₂=

4-2k2

k2

，x₁x₂=1设M（x₀，y₀），由

FB

+

FA

=t

FM

，其中t≠0，
得（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₂）=t（x₀-1，y₀），
∴

x0= x1+x2-2 t +1 y0= y1+y2 t

，
而y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=

4

k

，代入

y

2 0

=x₀，得（

4

kt

）²=4（

4-2k2 k2 -2

t

+1），
化为：k²t²-4k²t+4t=4得，k²=

4-4t

t2-4t

，而k²＜1，
且k≠0，
∴t＜-2，或0＜t＜1，或1＜t＜2，或t＞4．

点评：本题主要考查了圆锥曲线的位置关系，难度偏高，在考试常作为压轴题，考查了学生分析问题和推理的能力．