Question

8．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该定价按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（元）	90	84	83	80	75	68

（1）求回归直线方程$\hat y=bx+a$；
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？
附：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}（{{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）根据表中数据，计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出回归直线方程；
（2）写出工厂利润函数，根据利润函数求出利润最大时产品的单价是多少．

解答 解：（1）∵$\overline x=\frac{8+8.2+8.4+8.6+8.8+9}{6}=8.5$，
$\overline y=\frac{90+84+83+80+75+68}{6}=80$，
∴可列表如下：

i	1	2	3	4	5	6
${x_i}-\overline x$	-0.5	-0.3	-0.1	0.1	0.3	0.5
${y_i}-\overline y$	10	4	3	0	-5	-12

∴$\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）=（{-5}）×10}+（{-3}）×4+（{-0.1}）×3+0.1×0+0.3×（{-5}）+0.5×（{-12}）=-14$，$\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}={{（{-0.5}）}^2}+{{（{-0.3}）}^2}+{{（{-0.1}）}^2}+0.1×0}+{0.3^2}+{0.5^2}=0.7$，
∴$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=-20$，
则$a=\overline y-b\overline x=80-（{-20}）×8.5=250$，
∴线性回归方程为$\hat y=-20x+250$；
（2）由于工厂获得的利润$z=（{x-4}）\hat y=-20{x^2}+330x-1000$，
所以当$x=\frac{330}{40}=8.25$，工厂获得利润z最大，
综上，该产品的单价应定为8.25元．

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了计算与推理能力，是中档题．