Question

20．设α，β为锐角，且满足sin²α+sin²β=sin（α+β），则α+β=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinα（sinα-cosβ）+sinβ（sinβ-cosα）=0，由sinα＞0，sinβ＞0，分类讨论，可求sinβ-cosα=0，即可得解α+β=$\frac{π}{2}$，从而得解．

解答 解：由于：sin²α+sin²β=sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，
所以：sinα（sinα-cosβ）+sinβ（sinβ-cosα）=0，
由于α，β为锐角，则sinα＞0，sinβ＞0，
若sinα-cosβ＞0，则要求sinβ-cosα＜0，
即α＞$\frac{π}{2}$-β且β＜$\frac{π}{2}$-α，两者矛盾，故sinα-cosβ≤0，
同理，得sinβ-cosα≥0，
所以sinβ-cosα=0，即α，β互余，即α+β=$\frac{π}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角函数的图象和性质的综合应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．