题目内容

18．已知函数f（x）=x（x-m）2在x=2处有极大值．
（1）求实数m的值；
（2）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．

分析 （1）令f′（2）=0解出m，再进行验证x=2是否为极大值点即可；
（2）求出f（x）的单调性和极值，即可得出a的范围．

解答 解：（1）f'（x）=3x2-4mx+m2，由已知f'（2）=12-8m+m2=0，
∴m=2，或m=6，当m=2时，f'（x）=3x2-8x+4=（3x-2）（x-2），
∴f（x）在$x∈（{\frac{2}{3}，2}）$上单调递减，在x∈（2，+∞）上单调递增，
∴f（x）在x=2处有极小值，不符合题意，舍去．
∴m=6．
（2）由（1）知f（x）=x3-12x2+36x，f′（x）=3x2-24x+36，
且f（x）的另一个极值点为6，
∴f（x）在x∈（-∞，2）上单调递增，在x∈（2，6）上单调递减，在x∈（6，+∞）上单调递增，
当x=2时，f（x）取得极大值f（2）=32，
当x=6时，f（x）取得极小值f（6）=0，
∵方程f（x）=a有三个不同的实根，
∴0＜a＜32．

点评 本题考查了导数与函数单调性、极值的关系，属于中档题．

练习册系列答案
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单价x（元）88.28.48.68.89
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（1）求回归直线方程$\hat y=bx+a$；
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？
附：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}（{{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$．
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13．已知直线l为曲线y=x2+x-2在点（1，0）处的切线，m为该曲线的另一条切线，且l⊥m
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3．已知-1≤a≤3，2≤b≤4，则2a-b的取值范围是（　　）
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10．在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为：（x-1）2+y2=1以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
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7．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$-alnx（a∈R）．
（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=x-$\frac{a}{2}$lnx，当f（x）有两个极值点为x1，x2，且x1∈（0，e）时，求g（x1）-g（x2）的最小值．
8．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sin（{ωx-\frac{π}{6}}）+b$（ω＞0），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为$\frac{π}{4}$，当$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$时，f（x）的最大值为1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位长度得到函数g（x）的图象，若g（x）-3≤m≤g（x）+3在$x∈[{0，\frac{π}{3}}]$上恒成立，求实数m的取值范围．

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