Question

设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）的图象关于直线x=

2π

3

对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数（　　）
（1）f（x）的图象过点（0，

1

2

）  
（2）f（x）的一个对称中心是（

5π

12

，0）
（3）f（x）在[

π

12

，

2π

3

]上是减函数
（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：由函数的周期求出ω，再由图象关于直线x=

2π

3

对称结合φ的范围求得φ，则函数解析式可求．
①求得f（0）=

3

2

说明命题①错误；
②由f（

5π

12

）=0说明命题②正确；
③求出原函数的减区间，由[

π

12

，

2π

3

]是一个减区间的子集说明命题③正确；
④通y=Asin（ωx+φ）图象的平移说明命题④错误．

解答： 解：∵f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）的周期是π，
∴ω=2，
又图象关于直线x=

2π

3

对称，则2×

2π

3

+φ=kπ+

π

2

，即φ=kπ-

5π

6

，k∈Z．
∵-

π

2

＜φ＜

π

2

，
∴取k=1得φ=

π

6

．
∴f（x）=3sin（2x+

π

6

）．
①∵f（0）=3sin

π

6

=

3

2

．
∴f（x）的图象过点（0，

1

2

）错误； 
②∵f（

5π

12

）=3sin（2×

5π

12

+

π

6

）=3sinπ=0．
∴f（x）的一个对称中心是（

5π

12

，0）正确；
③由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得：

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．
取k=0，得

π

6

≤x≤

2π

3

．
∵[

π

12

，

2π

3

]⊆[

π

6

，

2π

3

]，
∴f（x）在[

π

12

，

2π

3

]上是减函数正确；
④∵φ=

π

6

＞0，
∴f（x）=3sin（ωx+φ）=3sinω（x+

φ

ω

）是把y=3sinωx
向左平移

φ

ω

个单位得到，
则f（x）的图象向右平移

φ

ω

个单位得到函数y=3sinωx的图象．
∴命题④错误．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了复合函数的单调性的求法，是中档题．