Question

如图，已知三棱锥A-PBC中，AC⊥BC，AP⊥PC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
（1）求证：BC⊥平面APC；
（2）若BC=3，AB=10，求二面角P-MC-B的余弦值的绝对值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出MD⊥PB，AP⊥PB，由此能证明AP⊥平面PBC，从而得到BC⊥平面APC．
（2）建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出二面角P-MC-B的余弦值的绝对值．

解答： （1）证明：∵△PMB为正三角形，
且D为PB的中点，∴MD⊥PB．
又∵M为AB的中点，D为PB的中点，
∴MD∥AP，∴AP⊥PB．…（3分）
又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，
∴BC⊥平面APC …（6分）
（2）解：建立空间直角坐标系如图，则B(

5

2

，0，0)，
P(-

5

2

，0，0)，M(0，0，

5 3

2

)
过点C做CH⊥PB垂足为H，
在Rt△PBC中，由射影定理得HC=

12

5

，BH=

9

5

，DH=

5

2

-BH=

7

10

，
∴点C的坐标为(

7

10

，

12

5

，0)…（9分）
∴

BC

=(-

9

5

，

12

5

，0)，

BM

=(-

5

2

，0，

5 3

2

)，

PM

=(

5

2

，0，

5 3

2

)，

PC

=(

16

5

，

12

5

，0)，
∴设平面BMC的法向量

m

=(x，y，z)，
则由

BC • m =0 BM • m =0

，得

- 9 5 x+ 12 5 y=0 - 5 2 x+ 5 3 2 z=0

，
取x=12，得

m

=(12，9，4

3

)
设平面PMC的一个法向量为

n

=(x1，y1，z1)，则

PM • n =0 PC • n =0

，
∴

5 2 x1+ 5 3 2 z1=0 16 5 x1+ 12 5 y1=0

，取x₁=3，得

n

=(3，-4，-

3

)，
∴cos?

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

36-36-12

273 • 28

=-

2 39

91

故所求的二面角余弦值的绝对值为

2 39

91

…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的绝对值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．