Question

18．如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．
（Ⅰ）若弧$\widehat{BC}$的中点为D，求证：AC∥平面POD
（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积与体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB是底面圆的直径，可得AC⊥BC．再由$\widehat{BC}$的中点为D，可得OD⊥BC．则AC∥OD．由线面平行的判定可得AC∥平面POD；
（Ⅱ）设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，由题意可得h=r，l=$\sqrt{2}r$，由△PAB面积是9求得r=3，代入圆锥表面积公式与体积公式求解．

解答 （Ⅰ）证明：∵AB是底面圆的直径，∴AC⊥BC．
∵$\widehat{BC}$的中点为D，∴OD⊥BC．
又AC、OD共面，∴AC∥OD．
又AC?平面POD，OD?平面POD，
∴AC∥平面POD；
（Ⅱ）解：设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，
∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，∴h=r，l=$\sqrt{2}r$，
由${S}_{△ABP}=\frac{1}{2}×2r×h={r}^{2}=9$，得r=3，
∴${S}_{表面积}=πrl+π{r}^{2}=πr×\sqrt{2}r+π{r}^{2}=9（1+\sqrt{2}）π$，
$V=\frac{1}{3}π{r}^{2}h=9π$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查圆锥表面积与体积的求法，考查空间想象能力，是中档题．