Question

13．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为$（\sqrt{3}-1）$海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为2 海里的C处有一艘缉私艇奉命以$10\sqrt{3}$海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10 海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜
（Ⅰ）问C船与B船相距多少海里？C船在B船的什么方向？
（Ⅱ）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．

Answer 1

分析 （I）在△ABC中根据余弦定理计算BC，再利用正弦定理计算∠ABC即可得出方位；
（II）在△BCD中，利用正弦定理计算∠BCD，再计算BD得出追击时间．

解答 解：（I）由题意可知AB=$\sqrt{3}$-1，AC=2，∠BAC=120°，
在△ABC中，由余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos120°=6，
∴BC=$\sqrt{6}$．
由正弦定理得：$\frac{AC}{sin∠ABC}=\frac{BC}{sin∠BAC}$，即$\frac{2}{sin∠ABC}=\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，解得sin∠ABC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠ABC=45°，
∴C船在B船的正西方向．
（II）由（1）知BC=$\sqrt{6}$，∠DBC=120°，设t小时后缉私艇在D处追上走私船，
则BD=10t，CD=10$\sqrt{3}$t，
在△BCD中，由正弦定理得：$\frac{10\sqrt{3}t}{sin120°}=\frac{10t}{sin∠BCD}$，
解得sin∠BCD=$\frac{1}{2}$，∴∠BCD=30°，
∴△BCD是等腰三角形，∴10t=$\sqrt{6}$，即t=$\frac{\sqrt{6}}{10}$．
∴缉私艇沿东偏北30°方向行驶$\frac{\sqrt{6}}{10}$小时才能最快追上走私船．

点评 本题考查了正余弦定理解三角形，解三角形的实际应用，属于中档题．