Question

7．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD．
（1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；
（2）求二面角A-BC-P的大小．

Answer 1

分析 （1）连接BD，可得BG⊥AD，又由平面PAD⊥平面ABCD，可证得BG⊥平面PAD
（2）可得PBG为二面角A-BC-P的平面角，在Rt△PBG中，可求得二面角A-BC-P的大小为．

解答 解：（1）证明：连接BD，
∵底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，∴△ABD为等边三角形
又G为AD的中点，∴BG⊥AD
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BG?平面ABCD．
∴BG⊥平面PAD
（2）由AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB
又BG⊥AD，AD∥BC∴BG⊥BC∴∠PBG为二面角A-BC-P的平面角
在Rt△PBG中，PG=BG，∴∠PBG=45°
∴二面角A-BC-P的大小为45^°

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，几何法求二面角，属于中档题．