Question

已知函数f（x）=x²-alnx，a∈R．
（Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，再求导f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

；从而讨论导数的正负以确定函数的单调性；
（Ⅱ）由f（x）在[1，+∞）上单调递增知f′(x)=

2x2-a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，从而化为最值问题．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x＞0}；
f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

；
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，
f（x）在（0，+∞）上递增；
当a＞0时，x∈(0，

2a

2

)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈(

2a

2

，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
（Ⅱ）∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴f′(x)=

2x2-a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤2x²，
即a≤2．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．