Question

8．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为双曲线C上一点，Q为双曲线C渐近线上一点，P、Q均位于第一象限，且$\overrightarrow{QP}$=$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=0，则双曲线C的离心率为$\sqrt{5}-1$．

Answer 1

分析 利用已知条件求出Q坐标，求出P的坐标，代入双曲线方程，即可求解双曲线的离心率．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为双曲线C上一点，Q为双曲线C渐近线上一点，P、Q均位于第一象限，且$\overrightarrow{QP}$=$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=0，
可知P是Q，F₂的中点，$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$，
Q在直线bx-ay=0上，并且|OP|=c，则Q（a，b），则P（$\frac{a+c}{2}$，$\frac{b}{2}$），
代入双曲线方程可得：$\frac{（a+c）^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{1}{4}=1$，
1+e=$\sqrt{5}$．
可得e=$\sqrt{5}$-1．
故答案为：$\sqrt{5}-1$．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力．