Question

3．已知函数f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0），最小正周期为π
（1）求ω的值；
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的周期性，求得ω的值．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得g（x）的单调区间．

解答 解：（1）由于函数f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
（2）将函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，
可得y=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）的图象，
再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），
得到函数g（x）=2sin（4x+$\frac{2π}{3}$）的图象．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{7π}{24}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{24}$，
故函数g（x）的增区间为[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{7π}{24}$，$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{24}$]，k∈Z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{24}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{24}$，
故函数g（x）的增区间为[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{24}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{24}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、单调性，属于基础题．