Question

11．在等比数列{a_n}中，a_n＞0，公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，a₃与a₅的等比中项为2，求数列{a_n}的通项公式a_n=${（{\frac{1}{2}}）^{n-5}}$．

Answer 1

分析 推导出a₃，a₅是方程x²-5x+4=0的两个根，且a₃＞a₅．从而得到a₃=4，a₅=1，进而得到${a}_{1}=16，q=\frac{1}{2}$，由此能求出结果．

解答 解：∵在等比数列{a_n}中，a_n＞0，公比q∈（0，1），
且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，a₃与a₅的等比中项为2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}+{a}_{5}=5}\\{{a}_{3}{a}_{5}=4}\end{array}\right.$，
∴a₃，a₅是方程x²-5x+4=0的两个根，且a₃＞a₅．
解方程x²-5x+4=0，得a₃=4，a₅=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=4}\\{{a}_{1}{q}^{4}=1}\end{array}\right.$，由q∈（0，1），解得${a}_{1}=16，q=\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}=16×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=（$\frac{1}{2}$）^n-5．
故答案为：a_n=${（{\frac{1}{2}}）^{n-5}}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意利用等差数列的性质的合理运用．